정수론 일반

정수론 기본 정리

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Basic Functions

GCD (유클리드 호제법)

• $GCD(a, b) = GCD(b, r)$ (단, $r$은 $a$를 $b$로 나누었을 때의 나머지)의 구현이다.

int gcd(int a, int b) {
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b); // a % b = r
}

int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int r = a % b;
        a = b;
        b = r;
    }
    return a;
}

LCM

int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

Simple isPrime

• 루트 시간복잡도이기 때문에 $N \lt 1,000,000$ 정도일 때, 상당히 유효하다.

bool isPrime(int num) {
    for(int i = 2; i * i <= num; ++i) {
        if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

밀러라빈 isPrime

• 확률적 소수 판정이지만, 특정 수들에 대해서 모두 체크함으로써 확정적으로 소수 체크 가능
• casterian님 코드 참고: https://casterian.net/archives/396

typedef unsigned long long ull;

ull checker[] = {2ULL, 325ULL, 9375ULL, 28178ULL, 450775ULL, 9780504ULL, 1795265022ULL};
// int checker[] = {2, 7, 61}; // int 범위일 때

ull addmod(ull x, ull y, ull m) {
    if (x >= m - y) {
        return x - (m - y);
    } else {
        return x + y;
    }
}
ull mulmod(ull x, ull y, ull m) {
    ull r = 0ULL;
    while (y > 0) {
        if (y % 2 == 1)
            r = addmod(r, x, m);
        x = addmod(x, x, m);
        y /= 2;
    }
    return r;
}
ull powmod(ull x, ull y, ull m) {
    ull r = 1ULL;
    while (y > 0) {
        if (y % 2 == 1) {
            r = mulmod(r, x, m);
        }
        x = mulmod(x, x, m);
        y /= 2;
    }
    return r;
}

// Miller-Rabin checker
// true를 리턴한다고 해서 무조건 소수인 것은 아님. (확률적 소수)
// 그러나 특정 수들에 대해 (checker 배열) 모두 검사한다면, 확정적으로 소수임을 판별가능.
// (log n)^3 알고리즘
bool MR(ull N, ull A) {
    ull d = N - 1;
    while (d % 2 == 0) {
        if (powmod(A, d, N) == N - 1) {
            return true;
        }
        d /= 2;
    }

    ull tmp = powmod(A, d, N);
    if (tmp == N - 1 || tmp == 1) { // a^(d*2^r) mod n = -1 판정 하는 부분임
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}

bool isPrime(ull N) {
    if (N <= 1) {
        return false;
    } else if (N == 2) {
        return true;
    } else if (N <= 10'000'000'000ULL) { // 기존 방법이 빠른 구간 + 밀러라빈 checker 수보다 작은 구간
        for (ull i = 3ULL; i * i <= N; i += 2) { // 홀수만 검사한다.
            if (N % i == 0ULL) return false; // 나누어 떨어지면, 소수
        }
        return true;
    } else {
        for (int i = 0; i < 7; i++) { // 7: checker size
            ull A = checker[i];
            if (MR(N, A) == false) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

에라스토테네스의 채(Sieve)

Slow version

vector<int> getPrimes int MAX) {
    vector<int> memo(MAX + 1, 0);
    vector<int> res;
    for(int i = 2; i <= MAX; ++i) {
        if (memo[i] != 0) continue;
        res.push_back(i);
        for(int j = i; j <= MAX; j += i) {
            memo[j] = 1;
        }
    }
    return res;
}

Fast version

vector<int> getPrimes(int MAX) {
    vector<int> memo(MAX + 1, 0);
    vector<int> res;
    int i;
    for(i = 2; i * i <= MAX; ++i) {
        if (memo[i] != 0) continue;
        res.push_back(i);
        for(int j = i * i; j <= MAX; j += i) {
            memo[j] = 1;
        }
    }
    for(; i <= MAX; ++i)
        if (memo[i] == 0)
            res.push_back(i);

    return res;
}

Linear Sieve

• sp 에 들어있는 해당 숫자의 제일 작은 소인수는 덤이다.

vector<int> getPrimes(int MAX) {
    vector<int> sp(MAX + 1, 0);
    vector<int> res;
    for(int i = 2; i <= MAX; ++i) {
        if (sp[i] == 0) res.push_back(i);
        for(auto& j: res) {
            if (i * j > MAX) break;
            sp[i * j] = j;
            if (i % j == 0) break; // 이미 체로 걸러졌으므로 더이상 보지 않음
        }
    }
    return res;
}

Time Complexity

• GCD: $O(\log A + \log B)$
  • 한번 재귀를 돌 때마다 적어도 수가 $\frac 1 2$이 되므로, 로그 시간복잡도가 된다.
• LCM: $O(\log A + \log B)$
  • GCD에 달려있다.
• Simple isPrime: $O(\sqrt N)$
• 밀러라빈 isPrime: $O(k \log^3 N)$
  • k는 테스트해야하는 숫자의 수
• 에라스토테네스의 채 구성: $O(N \log \log N)$
• Linear Sieve 구성: $O(N)$